Question

18．某城市準備對公交車票價的提升實施改革，市某報社提前調(diào)查了市區(qū)公眾對公交車票價提升的態(tài)度，隨機抽查了50 人，將調(diào)查情況進行整理后制成統(tǒng)計表：

年齡（歲）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
頻數(shù)	5	10	15	10	5	5
贊成人數(shù)	4	6	9	6	3	4

（1）完成被調(diào)查者的頻率分布直方圖；

（2）若從年齡在[15，25），[25，35）的被調(diào)查者中各隨機選取2 人進行追蹤調(diào)查，記選取的4 人中不贊成公交車票價提升的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由已知條件能求出圖中各組的縱坐標，由此能完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖．
（2）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，分別求出p（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）各年齡段的頻率分別是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，
∴圖中各年齡段的縱坐標分別是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．
∴被調(diào)查者的頻率分布直方圖如圖所示：

（2）ξ 的所有可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}•{C}_{6}^{2}}{{C}_{5}^{2}•{C}_{10}^{2}}$=$\frac{15}{75}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=1）═$\frac{{C}_{4}^{1}•{C}_{6}^{2}}{{{C}_{5}^{2}C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}•{C}_{4}^{1}•{C}_{6}^{1}}{{C}_{5}^{2}•{C}_{10}^{2}}$=$\frac{34}{75}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{C}_{4}^{1}•{C}_{6}^{1}}{{C}_{5}^{2}•{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}•{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}•{C}_{10}^{2}}$=$\frac{22}{75}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}•{C}_{10}^{2}}$=$\frac{4}{75}$，…（7分）
所以ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{4}{75}$

∴ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{34}{75}$+2×$\frac{22}{75}$+3×$\frac{4}{75}$=$\frac{6}{5}$． …（9分）

點評 本題考查頻率直方圖的作法，考查隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時要認真審題，注意排列組合思想的合理運用，屬于中檔題．