Question

已知二次函數y=f（x），x∈R為偶函數，最小值為1，且圖象過點（2，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（2x+1）-3x²，x∈（-3，1），求g（x）的值域．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意可設f（x）=ax²+1，a＞0，再根據圖象過點（2，5），求得a=1，可得f（x）的解析式．
（2）由于g（x）=f（2x+1）-3x²=（x+2）²-2，x∈（-3，1），再利用二次函數的性質求得函數g（x）的值域．

解答： 解：（1）由二次函數y=f（x），x∈R為偶函數，最小值為1，可設f（x）=ax²+1，a＞0，
再根據圖象過點（2，5），可得4a+1=5，求得 a=1，∴f（x）=x²+1．
（2）由于g（x）=f（2x+1）-3x² =（2x+1）²+1-3x² =x²+4x+2=（x+2）²-2，x∈（-3，1），
故當x=-2時，函數g（x）取得最小值為-2，當x趨于1時，g（x）趨于最大7，故函數g（x）的值域為[-2，7）．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質的應用，屬于基礎題．