Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，M為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OMF的面積為

1

2

，且橢圓的離心率為

2

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線(xiàn)l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為△PQM的垂心？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意得

1

2

bc=

1

2

，

c

a

=

2

2

，由此能求出橢圓方程．
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且F為△PQM的垂心，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由M（0，1），F(xiàn)（1，0），得k_PQ=1．設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+m，由

y=x+m x2+2y2=2

得3x²+4mx+2m²-2=0．由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識(shí)，結(jié)合已知條件能求出直線(xiàn)l的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，M為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
△OMF的面積為

1

2

，且橢圓的離心率為

2

2

，
由題意得

1

2

bc=

1

2

，

c

a

=

2

2

，
解得b=1，a=

2

，
故橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且F為△PQM的垂心，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因?yàn)镸（0，1），F(xiàn)（1，0），故k_PQ=1．
于是設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+m，
由

y=x+m x2+2y2=2

得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
由題意應(yīng)有

MP

•

FQ

=0，
又

MP

=(x1，y1-1) ，

FQ

=(x2-1，y2)，
故x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0．
即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0．
整理得2×

2m2-2

3

-

4

3

m(m-1)+m2-m=0．
解得m=-

4

3

或m=1．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=1時(shí)，△PQM不存在，故舍去m=1．
當(dāng)m=-

4

3

時(shí)，所求直線(xiàn)l存在，且直線(xiàn)l的方程為y=x-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)方程的合理運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．