Question

【題目】斜率為的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)．

（1）設(shè)點(diǎn)在笫一象限，過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，為垂足，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過(guò)且與垂直的直線(xiàn)與圓：交于，兩點(diǎn)，若與面積之和為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)的定義可得，進(jìn)一步可得，，過(guò)M作軸于，所以，，，所以的坐標(biāo)為；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步得到弦長(zhǎng)，利用勾股定理、弦心距可得弦長(zhǎng)，，代入計(jì)算即可得到答案.

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得，則．

∵，，，

∴，，

過(guò)M作軸于，所以，，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，

與聯(lián)立得，

令，，則，，

．

∵，∴直線(xiàn)的方程為，即，

∴圓心到直線(xiàn)的距離為，

∵圓的半徑為，∴，

∴與面積之和

，

∵直線(xiàn)與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，

令，則，

由，解得或（舍去），

∴，得．