在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、．設(shè)直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對稱．

（1）求橢圓E的離心率；
（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若圓的面積為，求圓的方程．

（1），（2）相切，（3）.

解析試題分析：（1）求橢圓E的離心率，只需列出關(guān)于的一個(gè)等量關(guān)系就可解出. 因?yàn)橹本�的傾斜角的正弦值為，所以，即，（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，通常利用圓心到直線距離與半徑大小比較. 因?yàn)橹本�的傾斜角的正弦值為，所以直線的斜率為于是的方程為：，因此中點(diǎn)到直線距離為所以直線與圓相切,又圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對稱，直線與圓相切．（3）由圓的面積為知圓半徑為1，所以設(shè)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，則解得．所以，圓的方程為．
【解】（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c（c>0），
因?yàn)橹本�的傾斜角的正弦值為，所以，
于是，即，所以橢圓E的離心率  
（2）由可設(shè)，，則，
于是的方程為：，
故的中點(diǎn)到的距離，         又以為直徑的圓的半徑，即有，
所以直線與圓相切．                            
（3）由圓的面積為知圓半徑為1，從而，         
設(shè)的中點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，
則                              
解得．所以，圓的方程為．
考點(diǎn)：橢圓離心率，直線與圓位置關(guān)系，點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4，半徑小于5.
(1)求直線PQ與圓C的方程；
(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點(diǎn)A，B，且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心C在直線：上，求圓心為Ｃ的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（）滿足到定點(diǎn)A(-1,0)的距離與到定點(diǎn)B（1,0）距離之比為
(1)求曲線C的方程。
(2)過點(diǎn)M(1,2)的直線與曲線C交于兩點(diǎn)M、N，若|MN|=4，求直線的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
（1）當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且為等邊三角形時(shí)，求的長；
（2）當(dāng)兩點(diǎn)不關(guān)于軸對稱時(shí)，證明：不可能為等邊三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)O，軸正半軸為極軸，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-5),點(diǎn)C的極坐標(biāo)為,若直線l經(jīng)過點(diǎn)P,且傾斜角為，圓C的半徑為4.
(1).求直線l的參數(shù)方程及圓C的極坐標(biāo)方程;
(2).試判斷直線l與圓C有位置關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓C：x2＋(y－3)2＝4，一動(dòng)直線l過A(－1，0)與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，

M是PQ中點(diǎn)，l與直線m：x＋3y＋6＝0相交于N.
(1)求證：當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過圓心C；
(2)當(dāng)PQ＝2時(shí)，求直線l的方程；
(3)探索·是否與直線l的傾斜角有關(guān)？若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2－12x＋32＝0的圓心為Q，過點(diǎn)P(0,2)且斜率為k的直線l與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A，B.
(1)求圓Q的面積；
(2)求k的取值范圍；
(3)是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

以點(diǎn)（2，）為圓心且與直線相切的圓的方程是        ．

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同步練習(xí)冊答案