Question

2．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中點．
（Ⅰ）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB所成的角余弦值；
（Ⅲ）求平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）證明DC⊥面PAD即可得面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AC}=（1，1，0），\overrightarrow{PB}=（0，2，-1）$
∴$AC=\sqrt{2}，PB=\sqrt{5}，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PA}=2$，得cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
（Ⅲ）求出平面AMC、平面BMC的法向量分別為$\overrightarrow{m}=（x，y，z），\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，求出cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞
即可得平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值

解答 因為PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）證明：因$\overrightarrow{AP}=（0，0，1）$，$\overrightarrow{DC}=（0，1，0）$，故$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DC}=0$，∴AP⊥DC
由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：因$\overrightarrow{AC}=（1，1，0），\overrightarrow{PB}=（0，2，-1）$
∴$AC=\sqrt{2}，PB=\sqrt{5}，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PA}=2$，∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
（Ⅲ）設(shè)平面AMC、平面BMC的法向量分別為$\overrightarrow{m}=（x，y，z），\overrightarrow{n}=（a，b，c）$
$\overrightarrow{AM}=（0，1，\frac{1}{2}），\overrightarrow{AC}=（1，1，0）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（1，-1，2）$；
$\overrightarrow{CB}=（-1，1，0），\overrightarrow{CP}=（-1，-1，1）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=-a+b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=-a-b+c=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}=（1，1，2）$
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{1×1-1×1+2×2}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{2}{3}$．
平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系，及利用空間向量求空間角的基本方法，屬于中檔題．