Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）是否存過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿足？若存在，求出直線l₁的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

，，

解（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得
解得，故橢圓C的方程為．……………………4分
（Ⅱ）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調(diào)直線l的議程為
由                                         得．①
因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以
整理，得                                 解得
所以直線l方程為
將代入①式，可以解得M點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M坐標(biāo)為……8分
（Ⅲ）若存在直線l₁滿足條件，的方程為，代入橢圓C的方程得

因?yàn)橹本�l₁與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
所以
所以．
又，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823143011770561.gif" style="vertical-align:middle;" />即，
所以．
即
所以，解得 因?yàn)锳，B為不同的兩點(diǎn)，所以．
于是存在直線₁滿足條件，其方程為………………………………12分