Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜6的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于的不等式f（x）≥|2a+1|恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜6，即|x+2|+|x-3|＜6，可化為
①$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-（{x+2}）-（{x-3}）＜6}\end{array}$或②$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜3}\\{（{x+2}）-（{x-3}）＜6}\end{array}$或③$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{（{x+2}）+（{x-3}）＜6}\end{array}$
解①得$-\frac{5}{2}＜x≤-2$，解②得-2＜x＜3，解③得$3≤x＜\frac{7}{2}$，
綜合得$-\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}$，即原不等式的解集為$\{x|-\frac{5}{2}＜x＜\frac{7}{2}\}$．       …6分
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=|x+2|+|x-3|≥|（x+2）-（x-3）|=5，
當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤3時(shí)，等號(hào)成立，即f（x）_min=5，
又關(guān)于的不等式f（x）≥|2a+1|恒成立，則|2a+1|≤5，
解得-3≤a≤2，即實(shí)數(shù)的取值范圍為[-3，2]．…12分．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．