Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n-1=a_n-1（n≥2且n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=

an+1

(an+1)(an+1+1)

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）S_n-1=a_n-1（n≥2且n∈N^*）⇒S_n=a_n+1-1，兩式相減得

an+1

an

=2，又a₁=1，易知數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）利用裂項(xiàng)法易知b_n=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）（n∈N^*），從而可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n-1=a_n-1（n≥2且n∈N^*），
∴S_n=a_n+1-1，
兩式相減得：a_n=a_n+1-a_n，
∴

an+1

an

=2，又a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）∵b_n=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）（n∈N^*），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）]
=2（

1

2

-

1

2n+1

）
=1-

2

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系的確定及其通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出裂項(xiàng)法求和的考查，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力．