Question

18．下列命題中：
①若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$是共線向量，$\overrightarrow b$與$\overrightarrow c$是共線向量，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$是共線向量；
②銳角△ABC中，恒有sinA＞cosB；
③若向量$\overrightarrow{a}$=（6，2）與$\overrightarrow$=（-3，k）的夾角是鈍角，則k的取值范圍是k＜9；
④函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}}$）的最大值為$\sqrt{2}$；
其中正確的序號是②④．

Answer 1

分析 舉例說明①錯誤；由三角形為銳角三角形可得A＞$\frac{π}{2}-B$，兩邊取正弦得到sinA＞cosB判斷②；由題意得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0，求出k的取值范圍，并排除反向情況判斷③；展開兩角和與差的余弦，化簡后利用輔助角公式化積，求出函數(shù)的最大值判斷④．

解答 解：對于①，若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$是共線向量，$\overrightarrow b$與$\overrightarrow c$是共線向量，
則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$是共線向量，錯誤，如$\overrightarrow=\overrightarrow{0}$，對于任意兩個向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$都滿足$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$是共線向量，$\overrightarrow b$與$\overrightarrow c$是共線向量；
對于②，銳角△ABC中，恒有A+B$＞\frac{π}{2}$，則A＞$\frac{π}{2}-B$，∴sinA＞sin（$\frac{π}{2}-B$）=cosB，故②正確；
對于③，∵向量$\overrightarrow{a}$=（6，2）與$\overrightarrow$=（-3，k）的夾角是鈍角，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0，即6×（-3）+2k＜0，解得k＜9，又6k-2×（-3）=0，得k=-1，此時$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$反向，應(yīng)去掉，
∴k的取值范圍是{k|k＜9且k≠-1}，故③錯誤；
對于④，函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}}$）
=$cos2xcos\frac{π}{3}+sin2xsin\frac{π}{3}+cos2xcos\frac{π}{6}-sin2xsin\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}+1}{2}cos2x$=$\sqrt{2}sin（2x+θ）$，
∴函數(shù)f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，故④正確．
∴正確的命題是②④．
故答案為：②④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了向量關(guān)系的條件，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．