分析 (1)由定義直接判斷.
(2)由已知得anan與$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$中至少有一個屬于A,從而得到a1=1;再由1=a1<a2<…<an,得到akan∉A(k=2,3,…,n).由A具有性質(zhì)P可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{k}}$∈A(k=1,2,3,…,n),由此能證明a1=1,且$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{a}_{1}^{-1}+{a}_{2}^{-1}+…+{a}_{n}^{-1}}$=an.
(3)當(dāng)n=5時,${a}_{5}={a}_{2}{a}_{4}={{{a}_{3}}^{2}}_{\;}$,從而a3a4∈A,$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$∈A,由此能證明$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}^{\;}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$.
解答 解:(1)由于3×4與$\frac{4}{3}$均不屬于數(shù)集{1,3,4},
所以數(shù)集{1,3,4}不具有性質(zhì)P.
由于1×2,1×3,1×6,2×3,$\frac{6}{2}$,$\frac{6}{3}$,$\frac{1}{1}$,$\frac{2}{2}$,$\frac{3}{3}$,$\frac{6}{6}$都屬于數(shù)集{1,2,3,6},
所以數(shù)集{1,2,3,6}具有性質(zhì)P.
證明:(2)因?yàn)锳={a1,a2,…,an}具有性質(zhì)P,
所以anan與$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$中至少有一個屬于A.
由于1≤a1<a2<…<an,所以anan>an,故anan∉A,
從而1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$∈A,故a1=1;
因?yàn)?=a1<a2<…<an,所以akan>an,故akan∉A(k=2,3,…,n).
由A具有性質(zhì)P可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{k}}$∈A(k=1,2,3,…,n),
又因?yàn)?\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$<$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$<…<$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$$<\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$,
所以$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$=a1,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}={a}_{2}$,…,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}={a}_{n-1}$,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}={a}_{n}$,
從而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=a1+a2+…+an-1+an,
故a1=1,且$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{a}_{1}^{-1}+{a}_{2}^{-1}+…+{a}_{n}^{-1}}$=an.
證明:(3)由(2)知,當(dāng)n=5時,有$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=a2,$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}={a}_{3}$,即${a}_{5}={a}_{2}{a}_{4}={{{a}_{3}}^{2}}_{\;}$,
因?yàn)?=a1<a2<…<a5,
所以a3a4>a2a4=a5,故a3a4∈A,
由A具有性質(zhì)P,可知$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$∈A,
由${a}_{2}{a}_{4}={{a}_{3}}^{2}$,得$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$∈A,且1<$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$<a3,
所以$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=a2,
故$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}={a}_{2}$,
所以:$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}^{\;}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$.
點(diǎn)評 本題考查數(shù)集是否具有性質(zhì)P的判斷,考查等式的證明,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意性質(zhì)P的合理運(yùn)用.
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A. | y=-2x | B. | y=2x | C. | y=lgx | D. | y=x3 |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | “p且q”為真 | B. | “p或q”為假 | C. | p假q真 | D. | p真q假 |
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