Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求當(dāng)時(shí)， 恒成立的的取值范圍，并證明

.

Answer 1

【答案】(1)ae （2）見解析

【解析】試題分析：(1) 函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于=在

（，+）上有兩實(shí)根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可得結(jié)果；（2）結(jié)合(1)可得<,令,

,各式相加，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.

試題解析：(1) f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)， 在（，+）上有兩實(shí)根，顯然a

=,令g(x)= , g/(x)= ,令g/(x)=0，x

∴g(x)在（0， ）單調(diào)遞增，在（，+）單調(diào)遞減，又g()=,x>1時(shí)g(x)>0.且 g(x) 0

∴= 有兩根須0<<, ∴ae

（2）x2-alnx0恒成立，即x2>2alnx對(duì)x>1恒成立.當(dāng)a時(shí)，顯然滿足。

當(dāng)a>時(shí), >,由（1）知，(g(x))MAX=,, ∴0＜a＜e

綜上x2-alnx0對(duì)x>1恒成立的a的范圍為a＜e

令a=2，則x2-2lnx0對(duì)x>1恒成立，即lnx<x2,令x=,k=2,3,4,…，n

lnk<k,ln2, ln3, ln4,…，lnn<n,

∴ln2+ ln3+ ln4+…+ lnn<= .