【題目】已知函數(shù) f (x) = x ex (xR)

Ⅰ)求函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

Ⅱ)若x (0, 1), 求證: f (2 x) > f (x);

Ⅲ)若x1 (0, 1), x2(1, +∞), f (x1) = f (x2), 求證: x1 + x2 > 2.

【答案】(1)()內(nèi)是增函數(shù), ()內(nèi)是減函數(shù).處取得極大值(2)見解析(3)見解析

【解析】

(Ⅰ)直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出極值點,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,即可求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;

(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣f(2﹣x)求出g(x)=(x﹣1)(e2x﹣2﹣1)e﹣x,通過x1,判斷g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),即可證明當(dāng)x1時,f(x)>f(2﹣x);

(Ⅲ)因為x1,x2分別在(0,1)(1,+∞)利用函數(shù)的關(guān)系式,證明x1+x2>2.

解:=(1﹣x)e﹣x

,則x=1

當(dāng)x變化時,,f(x)的變化情況如下表:

x

(﹣∞,1)

1

(1,+∞)

+

0

f(x)

極大值

f(x)在(﹣,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù)

f(x)在x=1處取得極大值

(Ⅱ)證明:令g(x)=f(x)﹣f(2﹣x)

則g(x)=xe﹣x﹣(2﹣x)ex﹣2

∴g(x)=(x﹣1)(e2x﹣2﹣1)e﹣x

當(dāng), ,從而

所以,從而函數(shù)是增函數(shù).∵e﹣x>0,∴g(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù)

∵g(1)=0∴0<x<1時,g(x)<g(1)=0

即當(dāng)0<x<1時,f(x)<f(2﹣x)

() 證明:

():

()內(nèi)是減函數(shù)

練習(xí)冊系列答案
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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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