Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）設(shè)函數(shù)f（n）=

an，n為奇數(shù) f( n 2 )，n為偶數(shù)

，c_n=f（2ⁿ+4）（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）設(shè)λ為實(shí)數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式S_m+S_n＞λ•S_k恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
（2）由已知得c₁=f（6）=f（3）=a₃=5c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1；當(dāng)n≥3時，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-1+1）-1=2^n-1+1，由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）由已知得m²d²+n²d²＞c•k²d²，λ＜

m2+n2

k2

恒成立．由此能求出λ的最大值．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²（n∈N^*），
∴a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
（2）由f（n）=

an，n為奇數(shù) f( n 2 )，n為偶數(shù)

，c_n=f（2ⁿ+4）（n∈N^*），
可得c₁=f（6）=f（3）=a₃=5
c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1
當(dāng)n≥3時
c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-1+1）-1=2^n-1+1
故當(dāng)n≥3時，T_n=2ⁿ+n．
∴T_n=

5，n=1 2n+n，n≥2

．
（3）∵S_m+S_n＞λS_k，∴m²d²+n²d²＞c•k²d²，
∴m²+n²＞λ•k²，λ＜

m2+n2

k2

恒成立．
又m+n=3k，且m≠n，2（m²+n²）＞（m+n）²=9k²，
∴

m2+n2

k2

＞

9

2

，
故λ≤

9

2

，即λ的最大值為

9

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．