Question

已知f（x）=e^x-ax+b，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a和b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求出函數(shù)的極值，即可求a和b的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-x+b，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1，
由f′（x）=e^x-1＞0，解得x＞0，
由f′（x）=e^x-1＜0，解得x＜0，
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），遞減求解為（-∞，0）；
（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，不滿足條件，
則a＞0，
由由f′（x）=e^x-a＞0，解得x＞lna，
由f′（x）=e^x-a＜0，解得x＜lna，
即當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（lna）=e^lna-alna+b=a-alna+b，
若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
則f（lna）=a-alna+b＜0，
即b＜alna-a，
則a＞0，b＜alna-a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．