Question

6．P為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{{a^2}-4}}$=1（a＞2）上位于第一象限內(nèi)一點，且OP=2$\sqrt{2}$，令∠POx=θ，則θ的取值范圍為（　　）

• A． $（0，\frac{π}{12}]$
• B． $（0，\frac{π}{6}]$
• C． $（0，\frac{π}{4}]$
• D． $（0，\frac{π}{3}]$

Answer 1

分析 利用參數(shù)法求出點P的坐標，結(jié)合基本不等式進行求解即可．

解答 解：設∠POx=θ，則θ為銳角且$P（2\sqrt{2}cosθ，2\sqrt{2}sinθ）$，
所以$\frac{{8{{cos}^2}θ}}{a^2}-\frac{{8{{sin}^2}θ}}{{{a^2}-4}}=1$，
化簡得，$cos2θ=\frac{1}{8}[（{a^2}-2）+\frac{12}{{{a^2}-2}}]≥\frac{1}{8}•2\sqrt{（{a^2}-2）•\frac{12}{{{a^2}-2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，當且僅當${a^2}-2=\frac{12}{{{a^2}-2}}$，
即${a^2}=2（\sqrt{3}+1）$時取等號，所以$0＜θ≤\frac{π}{12}$．
故選：A

點評 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應用，利用參數(shù)法結(jié)合基本不等式求最值是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．