Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在O、A兩點(diǎn)處取得極值，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A在曲線y=xsinx（x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]）上，則曲線y=f（x）的切線斜率的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在O，A（p，q）點(diǎn)處取到極值，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，得到d=0，f′（0）=0，f′（p）=0，得到c=0，p=-$\frac{2b}{3a}$，f′（x）=3ax²-3apx，再由A在曲線上，運(yùn)用兩角和的正弦，判斷a＜0，b＞0．得到f′（x）≤f′（$\frac{p}{2}$）=$\frac{3}{2}$sinp，根據(jù)p的范圍即可判斷．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在O，A（p，q）點(diǎn)處取到極值，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴f（0）=0，即d=0，f（x）=ax³+bx²+cx，f′（x）=3ax²+2bx+c，
f′（0）=0，f′（p）=0，∴c=0，p=-$\frac{2b}{3a}$，f′（x）=3ax²-3apx，
∵p∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴q=psinp＞0，
f（p）＞f（0），
即f（x）分別在x=0和x=p處取極小值和極大值，則a＜0，b＞0．
∴f′（x）≤f′（$\frac{p}{2}$），
∵q=f（p）=ap³+bp²=psinp，
∴ap²+bp=$\frac{bp}{3}$=sinp，
即b=$\frac{3sinp}{p}$，a=-$\frac{2b}{3p}$=-$\frac{2sinp}{{p}^{2}}$，
∴f′（$\frac{p}{2}$）=-$\frac{3}{4}$ap²=$\frac{3}{2}$sinp，p∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴p=$\frac{π}{2}$時(shí)，f′（$\frac{p}{2}$）最大，最大值是$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值、最值，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)求極值和最值，三角函數(shù)的化簡，考查較強(qiáng)的運(yùn)算能力和推理能力，是一道中檔題．