Question

1．2010年上海世博會舉辦時間為2010年5月1日--10月31日．此次世博會福建館招募了60名志愿者，某高校有13人入選，其中5人為中英文講解員，8人為迎賓禮儀，它們來自該校的5所學院（這5所學院編號為1、2、3、4、5號），人員分布如圖所示． 若從這13名入選者中隨機抽出3人．
（1）求這3人所在學院的編號正好成等比數列的概率；
（2）求這3人中中英文講解員人數的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）“這3人所在學院的編號正好成等比數列”記為事件A，“這3人都來自1號學院”記為事件A₁，“這3人都來自2號學院”記為事件A₂，“這3人分別來自1號、2號、4號學院”記為事件A₃，由P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃），能求出這3人所在學院的編號正好成等比數列的概率．
（Ⅱ）設這3人中中英文講解員的人數為ξ，則ξ=0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）“這3人所在學院的編號正好成等比數列”記為事件A，
“這3人都來自1號學院”記為事件A₁，“這3人都來自2號學院”記為事件A₂，
“這3人分別來自1號、2號、4號學院”記為事件A₃
∴P（A₁）=P（A₂）=$\frac{C_4^3}{{C_{13}^3}}=\frac{2}{143}$，
P（A₃）=$\frac{4×4×2}{{C_{13}^3}}$=$\frac{16}{143}$
∴P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=$\frac{20}{143}$．
（Ⅱ）設這3人中中英文講解員的人數為ξ，則ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=$\frac{C_8^3}{{C_{13}^3}}=\frac{28}{143}$，P（ξ=1）=$\frac{C_5^1C_8^2}{{C_{13}^3}}=\frac{70}{143}$，
P（ξ=2）=$\frac{C_5^2C_8^1}{{C_{13}^3}}=\frac{40}{143}$，P（ξ=3）=$\frac{C_5^3}{{C_{13}^3}}=\frac{5}{143}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{28}{143}$	$\frac{70}{143}$	$\frac{40}{143}$	$\frac{5}{143}$

∴Eξ=$0×\frac{28}{143}+1×\frac{70}{143}+2×\frac{40}{143}+3×\frac{5}{143}$=$\frac{165}{143}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．