Question

17．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F（-$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，0）作圓（x-$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$）²+y²=1的切線，切點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． 2$\sqrt{10}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線和圓相切的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由圓的方程（x-$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$）²+y²=1知圓心坐標(biāo)為G（$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，0），半徑R=1，
∵過(guò)左焦點(diǎn)F（-$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，0）作圓（x-$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$）²+y²=1的切線，切點(diǎn)在雙曲線上，
∴設(shè)切點(diǎn)為P，
則PG=1，PF=1+2a，F(xiàn)G=2c=$\sqrt{10}$，
則PF²+PG²=FG²，
即（1+2a）²+1=10，
即（1+2a）²=9，得1+2a=3，a=1，c=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
∴雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直線和圓相切的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的勾股定理建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．