Question

【題目】已知.

（1）判斷在上的單調(diào)性；

（2）判斷函數(shù)在上零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1） 在內(nèi)單調(diào)遞減, 在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）共有三個零點．

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）首先求出，然后結(jié)合（1）知，由此得到的單調(diào)區(qū)間，從而根據(jù)零點的存在性定理求得函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)．

試題解析：（1）因為,令，

當(dāng)時, 在上為增函數(shù), 即是上的增函數(shù), 且有；

當(dāng)時, 則,當(dāng),則，

所以 在內(nèi)單調(diào)遞減, 在內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）,由(1) 知，

所以在內(nèi)單調(diào)遞減, 在內(nèi)單調(diào)遞增.

因為且,

所以根據(jù)零點的存在性定理, 存在唯一,使得,

又，同理,存在唯一,使得,

所以在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減, 則

故是在內(nèi)的唯一零點．

由在內(nèi)單調(diào)遞增,, 且，

所以根據(jù)零點的存在性定理, 存在唯一,使得是在內(nèi)的唯一零點．

由在內(nèi)單調(diào)遞增,, 且，

所以根據(jù)零點的存在性定理, 存在唯一,使得是在內(nèi)的唯一零點．

綜上所述, 在內(nèi)共有三個零點, 分別為.