Question

15．函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足xf′（x）+2f（x）＞0，則不等式$\frac{（x+2016）f（x+2016）}{5}＜\frac{5f（5）}{x+2016}$的解集為（　　）

• A． {x＞-2011}
• B． {x|x＜-2011}
• C． {x|-2011＜x＜0}
• D． {x|-2016＜x＜-2011}

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），g′（x）=x（2f（x）+xf′（x））；
當(dāng)x＞0時(shí)，
∵2f（x）+xf′（x）＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵不等式$\frac{（x+2016）f（x+2016）}{5}＜\frac{5f（5）}{x+2016}$，
∴x+2016＞0時(shí)，即x＞-2016時(shí)，
∴（x+2016）²f（x+2016）＜5²f（5），
∴g（x+2016）＜g（5），
∴x+2016＜5，
∴-2016＜x＜-2011，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵