Question

7．如圖，在四邊形ABCD中，|$\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BD|}+|\overrightarrow{DC}$|=4，$（|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{DC}|）|\overrightarrow{BD}$|=4，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{DC}$=0，則$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}）•\overrightarrow{AC}$的值為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意可得|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{DC}$|=2，|$\overrightarrow{BD}$|=2，$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{DC}$，作如圖輔助線BE∥DC，且BE=DC，可得|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{2}$，即三角形AEC是等腰直角三角形，再由向量的點乘運算的定義可解決．

解答 解：在四邊形ABCD中，∵|$\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BD|}+|\overrightarrow{DC}$|=4，$（|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{DC}|）|\overrightarrow{BD}$|=4，
∴|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{DC}$|=2，|$\overrightarrow{BD}$|=2．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{DC}$=0，∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{DC}$，∴$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{DC}$，
作如圖輔助線BE∥DC，且BE=DC，連接CE，如圖，可得BECD為矩形，
∴|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$|=|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{DC}$|=|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{BE}$|=|$\overrightarrow{AE}$|=2，
|$\overrightarrow{BD}$|=|$\overrightarrow{EC}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{2}$，即三角形AEC是等腰直角三角形，
則$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}）•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos45°=2•2$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4，
故選：C．

點評 本題主要考查向量的線性運算和幾何意義．注意向量點乘為0時兩向量互相垂直，屬于中檔題．