Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x|x-1|-2ax+3a恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{e}}}{4}，0）$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)切線(xiàn)的斜率關(guān)系，求解新函數(shù)的極值，推出a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x|x-1|-2ax+3a恰有3個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y=e^x|x-1|，與函數(shù)y=2ax-3a有3個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)x＞1時(shí)y=e^x（x-1），是增函數(shù)．
x=0時(shí)，y=0．
當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)y=e^x|x-1|=e^x（1-x），
y′=-xe^x，x＜0時(shí)，y′＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，
函數(shù)y=e^x|x-1|的圖象如圖，設(shè)y=2ax-3a，與y=e^x（1-x）的切點(diǎn)為：（x，e^x（1-x）），
可得：$\frac{{e}^{x}（1-x）}{x-\frac{3}{2}}=2a$，x∈（0，1），
即a=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{2x-3}$，
a′=$\frac{[{e}^{x}（1-x）]′（2x-3）-2{e}^{x}（1-x）}{（2x-3）^{2}}$=$-\frac{{e}^{x}}{（2x-3）^{2}}$（2x²-5x+2），
令a′=0可得2x²-5x+2=0，解得x=$\frac{1}{2}$，x=2舍去．
x∈（0，$\frac{1}{2}$），a是減函數(shù)，x∈（$\frac{1}{2}，1$）時(shí)，a是增函數(shù)，a的最小值為：$\frac{{e}^{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}）}}{2×\frac{1}{2}-3}$=$-\frac{\sqrt{e}}{4}$．
可得a∈（$-\frac{\sqrt{e}}{4}$，0）
故答案為：（$-\frac{\sqrt{e}}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力．