Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{a}{3}$x³+cx（a，c∈R，a≠0）．若a=-3，函數(shù)y=f（x）在[-2，2]的值域?yàn)閇-2，2]，求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 根據(jù)條件結(jié)合函數(shù)的值域先求出c的值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：若a=-3，則f（x）=-x³+cx，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-3x²+c，
①若c≤0，則f′（x）≤0，此時(shí)函數(shù)在[-2，2]為減函數(shù)，
∵y=f（x）在[-2，2]的值域?yàn)閇-2，2]，
∴f（2）=-2³+2c=2，
即2c-8=2，則2c=10，c=5，不滿(mǎn)足條件c≤0．
②若c＞0，則$f'（x）=0⇒x=±\sqrt{\frac{c}{3}}$
（�。┤�$\sqrt{\frac{c}{3}}＞2$，即c＞12時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（2）=2\\ f（-2）=-2\end{array}\right.$，此方程組無(wú)解；     
（ⅱ）$\sqrt{\frac{c}{3}}≤2≤2\sqrt{\frac{c}{3}}$時(shí)，即3≤c≤12時(shí)，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（\sqrt{\frac{c}{3}}）=2\\ f（-\sqrt{\frac{c}{3}}）=-2\end{array}\right.$，即c=3；）
（ⅲ）$2＞2\sqrt{\frac{c}{3}}$時(shí)，即c＜3時(shí)，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（2）=-2\\ f（-2）=2\end{array}\right.$，此方程組無(wú)解．
綜上可得c=3，
∴f（x）=-x³+3x的零點(diǎn)為：${x_1}=0，{x_2}=-\sqrt{3}，{x_3}=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性和值域之間的關(guān)系建立條件關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．