Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₅=9，a₂+a₆=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n+qⁿ（q＞0），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由 等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，解得a₁=1，d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由${b_n}=2n-1+{q^n}$，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}滿足：a₅=9，a₂+a₆=14，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=9}\\{2{a}_{1}+6d=14}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．…（4分）
（2）∵b_n=a_n+qⁿ（q＞0），a_n=2n-1，
∴${b_n}=2n-1+{q^n}$，
當q=1時，b_n=2n，則S_n=2（1+2+3+…+n）=2×$\frac{n（1+n）}{2}$=n（n+1）．…（6分）
當q＞0，q≠1時，
則S_n=2（1+2+3+…+n）-n+$\frac{q（1-{q}^{2}）}{1-q}$
=2×$\frac{n（1+n）}{2}$-n+$\frac{q（1-{q}^{2}）}{1-q}$
=n（n+1）-n+$\frac{q（1-{q}^{2}）}{1-q}$．
∴${S_n}={n^2}+\frac{{q（{1-{q^n}}）}}{1-q}$．…（10分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和分組求和法的合理運用．