Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）滿足：①對任意實數(shù)m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）•f（n）；②對任意m∈R，都有f（1+m）=f（1-m）恒成立；③f（x）不恒為0，且當(dāng)0＜x≤1時，f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）定義：“若存在非零常數(shù)T，使得對函數(shù)g（x）定義域中的任意一個x，均有g(shù)（x+T）=g（x），則稱g（x）為以T為周期的周期函數(shù)”，試證明：函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，并求出f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{2}{3}$）+f（$\frac{3}{4}$）+…+f（$\frac{2018}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（0）的值
（2）根據(jù)函數(shù)周期性的定義即可證明函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和周期性的性質(zhì)即可求值．

解答 解：（1）∵f（x）不恒為0，則存在x₀，使f（x₀）≠0，令m=x₀，n=0，
則f（x₀）+f（x₀）=2f（x₀）f（0），則f（0）=1．
再令m=0，n=0，有f（0）+f（0）=2f（0）•f（0）即2f（0）[f（0）-1]=0，
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
又令m=n=1得f（2）+f（0）=2[f（1）²]，
又f（1+m）=f（1-m）得f（2）=f（0），
∴[f（1）]²=1即f（1）=±1，而由已知f（1）＜1，
故f（1）=-1．…（4分）
（2）令m=0，n=x得：f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x）=2f（x），
∴f（-x）=f（x）即f（x）為偶函數(shù)．                                                  
由已知f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），
又f（x）為偶函數(shù)，有f（-x）=f（x），
∴f（2+x）=f（x），
∴f（x）為以2為周期的周期函數(shù)．
令$m=n=\frac{1}{3}$得：$f（\frac{2}{3}）+f（0）=2{[f（\frac{1}{3}）]^2}$．
即：$f（\frac{2}{3}）+1=2{[f（\frac{1}{3}）]^2}$．
再令：$m=\frac{2}{3}，n=\frac{1}{3}$得：$f（1）+f（\frac{1}{3}）=2f（\frac{2}{3}）f（\frac{1}{3}）$．
即：$f（\frac{1}{3}）-1=2f（\frac{2}{3}）f（\frac{1}{3}）$．
而$f（\frac{2}{3}）＜1$．．由此得：$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}，f（\frac{2}{3}）=-\frac{1}{2}$
又由條件（2），$f（\frac{1}{3}）=f（\frac{5}{3}）$，$f（\frac{2}{3}）=f（\frac{4}{3}）$，故$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{2}{3}）+f（\frac{3}{3}）+f（\frac{4}{3}）+f（\frac{5}{3}）+f（\frac{6}{3}）=0$，
又f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
故f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{2}{3}$）+f（$\frac{3}{4}$）+…+f（$\frac{2018}{3}$）=336×0+f（$\frac{2017}{3}$）+f（$\frac{2018}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$=0．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的奇偶性和周期性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力，綜合性較強，有一定的難度．