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已知點M(－2，0)，N(2，0)，動點P滿足條件|PM|－|PN|＝2．記動點P的軌跡為W．

(1)求W的方程；

(2)若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求·的最小值．

答案：
解析：

　　解法一：(1)由|PM|－|PN|＝2知動點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，實半軸長a＝．

　　又半焦距c＝2，故虛半軸長b＝．

　　所以W的方程為＝1，x≥．

　　(2)設A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)．

　　當AB⊥x軸時，x1＝x2，y1＝－y2．

　　從而·＝x1x2＋y1y2＝＝2．

　　當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝kx＋m．與W的方程聯立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0．

　　故x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2

　　＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)

　�。�(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2

　　＝．

　　又因為x1x2＞0，所以k2－1＞0，從而·＞2．綜上，當AB⊥x軸時，·取得最小值2．

　　解法二：(1)同解法一．

　　(2)設A、B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則

　　＝(xi＋yi)(xi－yi)＝2(i＝1，2)．

　　令si＝xi＋yi，ti＝xi－yi，

　　則siti＝2，且si＞0，ti＞0(i＝1，2)，所以·＝x1x2＋y1y2

　�。�(s1＋t1)(s2＋t2)＋(s1－t1)(s2－t2)

　�。�s1s2＋t1t2≥＝2，

　　當且僅當s1s2＝t1t2，即時“＝”成立．

　　所以·的最小值是2．


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件||PM|-|PN||=2
2
，記動點P的軌跡為W．
（1）求W的方程；
（2）過N（2，0）作直線l交曲線W于A，B兩點，使得|AB|=2
2
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PA
•
PB
，若
PA
•
PB
=
36
5
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14
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已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件|PM|-|PN|=2
2
．記動點P的軌跡為W．若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點．
（1）求W的方程；
（2）若AB的斜率為2，求證
OA
•
OB
為定值．
（3）求
OA
•
OB
的最小值．

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2
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（2）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求
OA
•
OB
的最小值．

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（2007•湖北模擬）已知點M（-2，0）、N（2，0），動點P滿足條件|PM|-|PN|=2
2
，則動點P的軌跡方程為（　�。�

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