Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-3x+4+2lnx（a＞0）．
（Ⅰ） 當a=

1

2

時，求函數(shù)f（x）在[

1

2

，3]上的最大值；
（Ⅱ） 若f（x）在其定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將a的值代入f（x），求出導函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值點，求出極大值及端點值f（3），選出最大值．
（II）先求出定義域，令導函數(shù)大于等于0在（0，+∞）上恒成立，由于對稱軸在區(qū)間內(nèi)，令判別式小于等于0，求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=

1

2

時，f(x)=

1

2

x2-3x+4+2lnx，
f′(x)=

(x-1)(x-2)

x

，
即f（x）在區(qū)間[

1

2

，1)和（2，3]上單調(diào)遞增；在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減．
∴f(1)=

3

2

，f(3)=2ln3-

1

2

，
所以函數(shù)f（x）在[

1

2

，3]上的最大值為f(3)=2ln3-

1

2

．
（Ⅱ）f′(x)=2ax-3+

2

x

=

2ax2-3x+2

x

，
因為f（x）在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當x∈（0，+∞）時f'（x）≥0恒成立，
得2ax²-3x+2≥0恒成立，
因為a＞0，x=

3

4a

＞0，
所以△=9-16a≤0，
所以實數(shù)a的取值范圍為[

9

16

，+∞)．

點評：求函數(shù)的最值時，一般通過導數(shù)求出函數(shù)的極值，再求出端點值，選出最值；解決函數(shù)的單調(diào)性已知求參數(shù)范圍的題目，一般令導函數(shù)大于等于0或小于等于0在單調(diào)區(qū)間上恒成立．