Question

一個幾何體的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別是AF，BC的中點．

（Ⅰ）寫出這個幾何體的名稱；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDEF；
（Ⅲ）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：

分析：（Ⅰ）是底面是直角三角形的直三棱柱；
（Ⅱ）由多面體AEDBFC的三視圖知，側(cè)面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形，由三角形中位線的性質(zhì)得：MN∥EC，從而證得MN∥平面CDEF．
（Ⅲ）先證四邊形CDEF是矩形，利用面面垂直的性質(zhì)證明并求出棱錐的高，代入體積公式計算棱錐的體積．

解答： 解：（Ⅰ）是底面是直角三角形的直三棱柱（寫成直三棱柱也給分）；
（Ⅱ）由多面體AEDBFC的三視圖知，三棱柱AED-BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，側(cè)面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形．
連接EB，則M是EB的中點，
在△EBC中，MN∥EC，且EC?平面CDEF，MN?平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF．
（Ⅲ）因為DA⊥平面ABEF，EF?平面ABEF，∴EF⊥AD，
又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，
∴四邊形CDEF是矩形，
且側(cè)面CDEF⊥平面DAE
取DE的中點H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴AH=

2

，
且AH⊥平面CDEF．
所以多面體A-CDEF的體積V=

1

3

S_CDEF•AH=

1

3

DE•EF•AH=

8

3

．

點評：本題考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，利用三視圖求面積和體積，屬于中檔題．