Question

8．已知向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)P₀（-1，2）開始沿著與向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$|；另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)Q₀（-2，-1）開始沿著與向量3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為|3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$|，設(shè)P、Q在t=0秒時(shí)刻分別在P₀、Q₀處．
（1）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間|PQ|最小？求出最小值；
（2）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$，求出t值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．則$\overrightarrow{{P}_{0}P}$=t（$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$）.$\overrightarrow{{Q}_{0}Q}$=t（$3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$），求出P，Q的坐標(biāo)，代入距離公式求出最小值；
（2）令$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=0列方程解出t．

解答 解：（1）$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，1），3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（3，2），
設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．則$\overrightarrow{{P}_{0}P}$=（x₁+1，y₁-2）=t（$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$）=（t，t）.$\overrightarrow{{Q}_{0}Q}$=（x₂+2，y₂+1）=t（$3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$）=（3t，2t）．
∴x₁=t-1，y₁=t+2，x₂=3t-2，y₂=2t-1．∴$\overrightarrow{PQ}$=（2t-1，t-3）．
∴|$\overrightarrow{PQ}$|²=（2t-1）²+（t-3）²=5t²-10t+10=5（t-1）²+5．
∴當(dāng)t=1時(shí)|$\overrightarrow{PQ}$|²取得最小值5．即|PQ|的最小值為$\sqrt{5}$．
∴出發(fā)1秒后|PQ|最小，最小值是$\sqrt{5}$．
（2）$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=（-1，-3），$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=1-2t-3（t-3）=-5t+10．
設(shè)t秒后$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$，則$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=0，∴-5t+10=0，解得t=2．
∴出發(fā)2秒后$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．