Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，點D，E分別在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PC⊥AD，且三棱錐P-ABC的體積為8，求多面體ABCED的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用BC∥平面ADE，可得BC∥ED．利用PA⊥底面ABC，PA⊥BC．利用線面垂直的判定可得
BC⊥平面PAC，即可證明．
（II）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，可得DE⊥PC．進而得到PC⊥平面ADE，AE⊥PC．由于AP=AC，可得E是PC的中點，ED是△PBC的中位線．得到

VP-ABC

VP-ADE

=

S△PBC

S△PED

=

4

1

．即可得出V_ABCED=

3

4

VP-ABC．

解答： 解：（Ⅰ）∵BC∥平面ADE，BC?平面PBC，平面PBC∩平面ADE=DE
∴BC∥ED．
∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
∴DE⊥平面PAC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴DE⊥PC，
又∵PC⊥AD，AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADE，∴AE⊥PC，
∵AP=AC，∴E是PC的中點，ED是△PBC的中位線．
 

VP-ABC

VP-ADE

=

S△PBC

S△PED

=

4

1

．
∴V_ABCED=

3

4

VP-ABC=

3

4

×8=6．

點評：本題考查了線面平行于垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．