Question

14．關(guān)于函數(shù)f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx，下列命題正確的個數(shù)是（　　）
①若存在x₁，x₂有x₁-x₂=π時，f（x₁）=f（x₂）成立；
②f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]上是單調(diào)遞增；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{12}$，0）成中心對稱圖象；
④將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{5π}{12}$個單位后將與y=2sin2x的圖象重合．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷命題的對錯即可得到答案．

解答 解：由f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx，
?f（x）=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x
?f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）
f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}=π$，則有f（x₁）=f（π+x₁），
∴當(dāng)x₁-x₂=π時，f（x₁）=f（x₂）成立．故①對．
由sinx函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{2π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]，（k∈Z），
區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]?[kπ-$\frac{2π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z，故②不對．
函數(shù)f（x）的圖象的中心對稱為（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，0），（k∈Z），經(jīng)考查（$\frac{π}{12}$，0）不是對稱中心．故③不對．
由f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）向左平移$\frac{5π}{12}$個單位后得到：2sin[2（x+$\frac{5π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]⇒化簡得：-2sin2x，與y=2sin2x的圖象不重合．故④不對．
綜上所述：①對，②③④不對．
故選：A

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡能力和計算能力，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用能力．綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題．