Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓（0＜b＜5）的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若∠F₁PF₂=60⁰，△F₁PF₂的面積為，則此橢圓的離心率為________．

Answer 1

分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得a，由△F₁PF₂的面積為，求得|PF₁|•|PF₂|的值，△F₁PF₂中，由余弦定理、
橢圓的定義可得b²的值，進(jìn)而求得c，由e= 求出離心率e 的值．
解答：∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓（0＜b＜5）的兩個焦點(diǎn)，∴a=5，c=．
∵△F₁PF₂的面積為=|PF₁|•|PF₂|sin60°，∴|PF₁|•|PF₂|=12．
△F₁PF₂中，由余弦定理可得 4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos60°，
即 4（25-b²）=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁|•|PF₂|=4a²-36=64，
∴b²=9，c=4，故離心率為 e==，
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出b²的值是解題的關(guān)鍵．