Question

如圖，四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3，DH：HA=2：3．
求證：EF、GH、BD交于一點．

Answer 1

證明：連接GE、HF，
∵E、G分別為BC、AB的中點，
∴GE∥AC．
又∵DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，
∴HF∥AC．∴GE∥HF．
故G、E、F、H四點共面．
又∵EF與GH不能平行，
∴EF與GH相交，設(shè)交點為O．
則O∈面ABD，O∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD．∴EF、GH、BD交于一點．
分析：由“E、G分別為BC、AB的中點”可得GE∥AC；再由“DF：FC=2：3，DH：HA=2：3”，比例相等，可得HF∥AC；此時根據(jù)公理4就可得GE∥HF．同時GE≠HF，所以EF與GH相交，再由公理2可知，交點應(yīng)該在兩平面的交線上．
點評：此題主要考查了公理2與公理4，是一道典型的平面題：“若兩平面相交，則必產(chǎn)生一條交線，此時兩面內(nèi)各有一條直線，若他們相交，則交點必在交線上”．這個小結(jié)論，好多題目中都會用到．