Question

已知函數(shù) ().

（1）若,求函數(shù)的極值;

（2）設(shè)．

① 當(dāng)時(shí),對任意,都有成立,求的最大值;

② 設(shè)的導(dǎo)函數(shù).若存在,使成立,求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）參考解析； （2）①－1－e－1，②(－1,+∞)

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù) ()，且，所以對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性可得到結(jié)論

（2）①當(dāng)時(shí),對任意,都有成立，即時(shí)，恒成立. 由此可以通過分離變量或直接求函數(shù)的最值求得結(jié)果，有分離變量可得b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通過求函數(shù)h(x)＝x2－2x－ (x＞0)的最小值即可得到結(jié)論.

②若存在,使.通過表示即可得到＝，所以求出函數(shù)u(x)＝ (x＞1)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.

（1）當(dāng)a＝2,b＝1時(shí),f (x)＝(2＋)ex,定義域?yàn)?－∞,0)∪(0,＋∞).

所以f ′(x)＝ex. 2分

令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表

x	(－∞,－1)	－1	(－1,0)	(0,)		(,＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

 

由表知f (x)的極大值是f (－1)＝e－1,f (x)的極小值是f ()＝4. 4分

（2）① 因?yàn)間 (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex,

當(dāng)a＝1時(shí),g (x)＝(x－－2)ex.

因?yàn)間 (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,

所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 7分

記h(x)＝x2－2x－ (x＞0),則h′(x)＝.

當(dāng)0＜x＜1時(shí),h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是減函數(shù);

當(dāng)x＞1時(shí),h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函數(shù);

所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;

所以b的最大值為－1－e－1. 9分

解法二：因?yàn)間 (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex,

當(dāng)a＝1時(shí),g (x)＝(x－－2)ex.

因?yàn)間 (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，

所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0. 5分

g′(x)＝(1＋)ex＋(x－－2)ex＝．

因?yàn)閎＜0,所以：當(dāng)0＜x＜1時(shí),g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是減函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí),g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函數(shù)．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 7分

因?yàn)間 (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，

所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1

因此b的最大值為－1－e－1. 9分

②解法一：因?yàn)間 (x)＝(ax－－2a)ex,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex.

由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0,

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.

存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.

等價(jià)于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． 11分

因?yàn)閍＞0,所以＝.

設(shè)u(x)＝(x＞1),則u′(x)＝．

因?yàn)閤＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函數(shù),所以u(x)＞u(1)＝－1,

所以＞－1,即的取值范圍為(－1,＋∞). 14分

解法二：因?yàn)間 (x)＝(ax－－2a)ex,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex.

由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0,

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.

存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.

等價(jià)于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立. 11分

設(shè)u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)

u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 當(dāng)b≤0時(shí),u′(x）≥0

此時(shí)u(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b

因?yàn)榇嬖趚＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立

所以只要－a－b＜0即可,此時(shí)－1＜≤0 12分

當(dāng)b＞0時(shí),令x0＝＞＝＞1,得u(x0)＝b＞0,

又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x0)上必有零點(diǎn)

即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此時(shí)＞0 13分

綜上有的取值范圍為(－1,+∞)------14分

考點(diǎn)：1.函數(shù)的極值.2.函數(shù)最值.3.函數(shù)恒成立問題.4.存在性的問題.5.運(yùn)算能力.