【題目】如圖,將斜邊長為的等腰直角沿斜邊上的高折成直二面角,中點.

1)求二面角的余弦值;

2為線段上一動點,當直線與平面所成的角最大時,求三棱錐外接球的體積.

【答案】1.(2

【解析】

(1)中點,連接得出平面,由平面幾何可知,,則就是二面角的平面角,在中求解.
(2) 設直線與平面所成的角為,到平面的距離為,則,由等體積法可得求得,當最小時,直線與平面所成的角的正弦值最大,此時所成角也最大,從而當中點時,直線與平面所成的角最大,此時,可求出三棱錐外接球的體積.

解法一:(1)設中點,連接.

為等腰直角三角形,

且二面角為直二面角,

平面

,

由平面幾何可知,,

,,

就是二面角的平面角,

中,,,

∴二面角的余弦值為.

2)設直線與平面所成的角為,點到平面的距離為,

,

在三棱錐中,,

,求得

∴當最小時,直線與平面所成的角的正弦值最大,此時所成角也最大,

∴當中點時,直線與平面所成的角最大,此時.

由平面幾何知識可知,都是直角三角形,設的中點,

,

∴三棱錐外接球的半徑為,

∴外接球的體積.

解法二:(1)∵為等腰直角三角形,且二面角為直二面角,

平面,

,

∴以為坐標原點,以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

∵在平面圖形中,是斜邊為的等腰直角三角形,且為高的中點,

,,,,

,,,

設平面的一個法向量為,平面的一個法向量為

,得,令,則

同理可求得

,

∴二面角的余弦值為.

2)如圖,設,

可得,

又由(1)可知平面的法向量為,∴

即直線與平面所成的角的正弦值為

,

,當且僅當時,等號成立.

∴當中點時,直線與平面所成的角最大,此時.

由平面幾何知識可知,都是直角三角形,設的中點,

,

∴三棱錐外接球的半徑為,

∴外接球的體積.

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電商平臺

64

71

81

70

79

69

82

73

75

60

電商平臺

60

80

97

77

96

87

76

83

94

96

1)作出兩個電商平臺銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖,根據(jù)莖葉圖判斷哪個電商平臺的銷售更好,并說明理由;

2)填寫下面關于店鋪個數(shù)的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為銷售量與電商平臺有關;

銷售量

銷售量

總計

電商平臺

電商平臺

總計

3)生產商要從這20個網(wǎng)絡銷售店鋪銷售量前五名的店鋪中,隨機抽取三個店鋪進行銷售返利,則其中恰好有兩個店鋪的銷售量在95以上的概率是多少?

附:,.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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