Question

【題目】如圖，將斜邊長為的等腰直角沿斜邊上的高折成直二面角，為中點.

（1）求二面角的余弦值；

（2）為線段上一動點，當直線與平面所成的角最大時，求三棱錐外接球的體積.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

(1)設為中點，連接得出平面，由平面幾何可知，，則就是二面角的平面角，在中求解.
(2) 設直線與平面所成的角為,點到平面的距離為，則，由等體積法可得求得，當最小時，直線與平面所成的角的正弦值最大，此時所成角也最大，從而當為中點時，直線與平面所成的角最大，此時，可求出三棱錐外接球的體積.

解法一：（1）設為中點，連接.

∵為等腰直角三角形，

且二面角為直二面角，

∴平面

∴，，

由平面幾何可知，，

∴，，

∴就是二面角的平面角，

在中，，，，

∴，

∴二面角的余弦值為.

（2）設直線與平面所成的角為，點到平面的距離為，

則，

在三棱錐中，，

由，求得，

∴當最小時，直線與平面所成的角的正弦值最大，此時所成角也最大，

∴當為中點時，直線與平面所成的角最大，此時.

由平面幾何知識可知，和都是直角三角形，設為的中點，

則，

∴三棱錐外接球的半徑為，

∴外接球的體積.

解法二：（1）∵為等腰直角三角形，且二面角為直二面角，

∴平面，

∴，

∴以為坐標原點，以所在直線為軸軸軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

∵在平面圖形中，是斜邊為的等腰直角三角形，且為高的中點，

∴，，，，，

∴，，，

設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，

由，得，令，則

∴，

同理可求得，

∴，

∴二面角的余弦值為.

（2）如圖，設，

可得，

∴，

又由（1）可知平面的法向量為，∴，

即直線與平面所成的角的正弦值為，

∵，

∴，當且僅當時，等號成立.

∴當為中點時，直線與平面所成的角最大，此時.

由平面幾何知識可知，和都是直角三角形，設為的中點，

則，

∴三棱錐外接球的半徑為，

∴外接球的體積.