Question

【題目】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與軸相交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).直線交拋物線于另一點(diǎn).

（1）求證：垂直于軸；

（2）求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由已知，設(shè)，只需證明的縱坐標(biāo)為，設(shè)切線的斜率為，寫出切線方程，與拋物線聯(lián)立，令，建立關(guān)系，即可證明；

（2）設(shè)直線的方程是，與拋物線方程聯(lián)立，得到坐標(biāo)關(guān)系，將點(diǎn)用表示，結(jié)合（1）的結(jié)論將三角形面積表示為的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征求其最值.

（1）設(shè)，過的切線方程，

與拋物線方程聯(lián)立，消去得：

，

令，

即，解得，

故切線的方程是：，

令得，故，又，

故的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，

，所以垂直于軸.

（2）設(shè)直線的方程是，

代入拋物線方程得：，設(shè)

所以，故，

由（1）題結(jié)論可知，

，

設(shè)，令，

則，

所以在遞減，在遞增，

故，

所以面積的取值范圍是.