【題目】在直角三角形中,、分別在線段、上,.沿著將折至如圖,使.
(1)若是線段的中點,試在線段上確定點的位置,使面;
(2)在(1)條件下,求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)為的中點(2)
【解析】
(1)利用面面平行切入,不防取的中點,連接,容易證明面面,問題可證出;
(2)可以以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,給出點、向量坐標(biāo)、求出平面的法向量,套用公式即可.
(1)取的中點,連接,因為,設(shè),
則是梯形的中位線,故,因為面面
所以面,同理可證面,
又面,所以面面,
所以面,即為的中點時,面;
(2)因為三角形中,.
所以,由,易知,
所以,又,所以,
以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
所以
.
又.設(shè)平面的法向量,
,即,令,則,所求的一個法向量,
設(shè)直線與平面所成角為,所以,
故與平面所成角的正弦值為.
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【題目】現(xiàn)有道數(shù)學(xué)題,其中道選擇題, 道填空題,小明從中任取道題,求:
(1)所取的道題都是選擇題的概率;
(2)所取的道題不是同一種題型的概率.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,,,為棱的中點,為棱的動點.
(1)求證:平面;
(2)若二面角的余弦值為,求點的位置.
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【題目】如圖,將斜邊長為的等腰直角沿斜邊上的高折成直二面角,為中點.
(1)求二面角的余弦值;
(2)為線段上一動點,當(dāng)直線與平面所成的角最大時,求三棱錐外接球的體積.
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【題目】動圓過定點,且在軸上截得的弦的長為4.
(1)若動圓圓心的軌跡為曲線,求曲線的方程;
(2)在曲線的對稱軸上是否存在點,使過點的直線與曲線的交點滿足為定值?若存在,求出點的坐標(biāo)及定值;若不存在,請說明理由.
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【題目】魚卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜歡,而且深受外來游客的贊賞.小張從事魚卷生產(chǎn)和批發(fā)多年,有著不少來自零售商和酒店的客戶當(dāng)?shù)氐牧?xí)俗是農(nóng)歷正月不生產(chǎn)魚卷,客戶正月所需要的魚卷都會在上一年農(nóng)歷十二月底進行一次性采購小張把去年年底采購魚卷的數(shù)量x(單位:箱)在的客戶稱為“熟客”,并把他們?nèi)ツ瓴少彽臄?shù)量制成下表:
采購數(shù)x |
| ||||
客戶數(shù) | 10 | 10 | 5 | 20 | 5 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖,并估計采購數(shù)在168箱以上(含168箱)的“熟客”人數(shù);
(2)若去年年底“熟客”們采購的魚卷數(shù)量占小張去年年底總的銷售量的,估算小張去年年底總的銷售量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);
(3)由于魚卷受到游客們的青睞,小張做了一份市場調(diào)查,決定今年年底是否在網(wǎng)上出售魚卷,若不在網(wǎng)上出售魚卷,則按去年的價格出售,每箱利潤為20元,預(yù)計銷售量與去年持平;若在網(wǎng)上出售魚卷,則需把每箱售價下調(diào)2至5元,且每下調(diào)m元()銷售量可增加1000m箱,求小張今年年底收入Y(單位:元)的最大值.
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【題目】“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎,以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計指標(biāo).“搜索指數(shù)”越大,表示網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多,對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.下圖是2017年9月到2018年2月這半年中,某個關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖.
根據(jù)該走勢圖,下列結(jié)論正確的是( )
A. 這半年中,網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化
B. 這半年中,網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱
C. 從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看,去年10月份的方差小于11月份的方差
D. 從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,為線段的中點,為線段上的動點.
(1)求證:平面平面.
(2)試確定點的位置,使平面與平面所成的銳二面角為.
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