Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸相交于點(diǎn)Q（1，0）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率為，可得，利用橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，可得b=，從而可求橢圓的方程；
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x-4）代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出直線AE的方程，令y=0，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為，∴
∴
∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．
∴b=
∴a²=4，b²=3
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x-4）代入橢圓方程可得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0
設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則A（x₁，-y₁），
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
又直線AE的方程為y-y₂=
令y=0，則x=x₂-===1
∴直線AE過x軸上一定點(diǎn)Q（1，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解