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【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB1=3，AC=BC=2，D，E分別為AB，BC的中點，F為BB1上一點，且 = ．
（1）求證：平面CDF⊥平面A1C1E；
（2）求二面角C1﹣CD﹣F的余弦值．

【答案】
（1）證明：以C為原點，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標系，

∵BB1=3，AC=BC=2，D，E分別為AB，BC的中點， = ．

∴C（0，0，0），D（1，1，0），F（0，2， ），E（0，1，0），A1（2，0，3），C1（0，0，3）．

， ， ．

設平面CDF的一個法向量為 ，

則 ，取y=﹣1，得 ；

再平面A1C1E的一個法向量為 ，

則 ，取z=1，得 ．

∵ ，

∴ ，則平面CDF⊥平面A1C1E；


（2）解：由（1）知，平面CDF的一個法向量 ，

又平面C1CD的一個法向量 ，

∴cos＜ ＞= = ，

∵二面角C1﹣CD﹣F為銳角，

∴二面角C1﹣CD﹣F的余弦值為 ．


【解析】（1）以C為原點，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標系，再由已知求出C，D，F，E，A1 ， C1的坐標，得到平面CDF與平面A1C1E的一個法向量，由兩法向量垂直可得平面CDF⊥平面A1C1E；（2）由（1）知，平面CDF的一個法向量 ，又平面C1CD的一個法向量 ，由兩法向量所成角的余弦值求得二面角C1﹣CD﹣F的大�。�
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．

練習冊系列答案
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【題目】據統計，僅在北京地區(qū)每天就有500萬單快遞等待派送，近5萬多名快遞員奔跑在一線，快遞網點人員流動性也較強，各快遞公司需要經常招聘快遞員，保證業(yè)務的正常開展.下面是50天內甲、乙兩家快遞公司的快遞員的每天送貨單數統計表：

送貨單數

30

40

50

60

天數

甲

10

10

20

10

乙

5

15

25

5

已知這兩家快遞公司的快遞員的日工資方案分別為：甲公司規(guī)定底薪元，每單抽成元；乙公司規(guī)定底薪元，每日前單無抽成，超過單的部分每單抽成元．

（1）分別求甲、乙快遞公司的快遞員的日工資（單位：元）與送貨單數的函數關系式；

（2）若將頻率視為概率，回答下列問題：

①記甲快遞公司的快遞員的日工資為（單位：元），求的分布列和數學期望；

②小趙擬到甲、乙兩家快遞公司中的一家應聘快遞員的工作，如果僅從日收入的角度考慮，請你利用所學的統計學知識為他作出選擇，并說明理由．

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【題目】已知點M（﹣3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點N在直線PQ上，且滿足 ． （Ⅰ）當點P在y軸上移動時，求點N的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點 做直線l與軌跡C交于A，B兩點，若在x軸上存在一點E（x0 ， 0），使得△AEB是以點E為直角頂點的直角三角形，求直線l的斜率k的取值范圍．

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【題目】某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個整數中等可能隨機產生 （I）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率pi（i=1，2，3）；
（II）甲乙兩同學依據自己對程序框圖的理解，各自編程寫出程序重復運行n次后，統計記錄輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻數，以下是甲乙所作頻數統計表的部分數據．
甲的頻數統計圖（部分）

運行次數n

輸出y的值為1的頻數

輸出y的值為2的頻數

輸出y的值為3的頻數

30

14

6

10

…

…

…

…

2100

1027

376

697

乙的頻數統計圖（部分）

運行次數n

輸出y的值為1的頻數

輸出y的值為2的頻數

輸出y的值為3的頻數

30

12

11

7

…

…

…

…

2100

1051

696

353

當n=2100時，根據表中的數據，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻率（用分數表示），并判斷兩位同學中哪一位所編程序符合要求的可能系較大；
（III）將按程序擺圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數ξ的分布列及數學期望．

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【題目】在正項等比數列{an}和正項等差數列{bn}中，已知a1 ， a2017的等比中項與b1 ， b2017的等差中項相等，且 + ≤1，當a1009取得最小值時，等差數列{bn}的公差d的取值集合為（ ）
A.{d|d≥ }
B.{d|0＜d＜ }
C.{ }
D.{d|d≥ }

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【題目】給定命題p：“若a2017＞﹣1，則a＞﹣1”；命題q：“x∈R，x2tanx2＞0”，則下列命題中，真命題的是（ ）
A.p∨q
B.（￢p）∨q
C.（￢p）∧q
D.（￢p）∧（￢q）

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【題目】直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ﹣2sinθ．
（1）求C的參數方程；
（2）若點A在圓C上，點B（3，0），求AB中點P到原點O的距離平方的最大值．

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【題目】如圖是求樣本x1、x2、…x10平均數 的程序框圖，圖中空白框中應填入的內容為（ ）
A.S=S+xn
B.S=S+
C.S=S+n
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（Ⅰ）求證：平面BDEF⊥平面ADE；
（Ⅱ）若ED=BD，求AF與平面AEC所成角的正弦值．

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