Question

在菱形ABCD中AC=2，BD=4，將△ACD沿著AC折起，使點(diǎn)D翻折到D′位置，連BD′，直線BD′與平面ABC所成的角為30°，如圖所示．
（1）求證AC⊥BD′；
（2）若E為AB中點(diǎn)，過C作平面ABC的垂線l，直線l上是否存在一點(diǎn)F，使EF∥平面AD′C？若存在，求出CF的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，利用菱形的對(duì)角線互相垂直，得到AC⊥平面BOD′，由項(xiàng)目存在的性質(zhì)得到證明；
（2）由（1）得平面BOD′⊥平面ABC，得到BD′與平面ABC所成的角為∠D′BO=30°，以直線AO，BO所在直線為x，y軸，過點(diǎn)O且垂直與平面AOB的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，找出平面AD′C的一個(gè)法向量，要使EF∥平面AD′C，則需要法向量與EF垂直，借助于向量的數(shù)量積求得m．

解答： 解：（1）設(shè)AC∩BD=O，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴AC⊥OD′，AC⊥OB，OD′∩OB=O，OD′，OB?平面BOD′，
∴AC⊥平面BOD′，
∴AC⊥BD′；
（2）由（1）得平面BOD′⊥平面ABC，
∴BD′與平面ABC所成的角為∠D′BO，即∠D′BO=30°，
以直線AO，BO所在直線為x，y軸，過點(diǎn)O且垂直與平面AOB的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），E（

1

2

，1，0），
∴

OA

=（1，0，0），

OD′

=（0，-1，

3

），
設(shè)F（-1，0，m），

n

=（x，y，z）為平面AD′C的一個(gè)法向量，則

n • OA =0 n • OD′ =0

⇒

x=0 y= 3 z

，令z=1，則

n

=（0，

3

，1），
又

EF

=（-

3

2

，-1，m），要使EF∥平面AD′C，則需要

n

•

EF

=(-

3

2

，-1，m)(0，

3

，1)=0⇒m=

3

．
所以存在F，使EF∥平面AD′C，此時(shí)CF=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用以及運(yùn)用空間直角坐標(biāo)系中向量的數(shù)量積解決線面角的問題，屬于中檔題．