Question

6．已知矩形ABCD（AB＞AD）的周長(zhǎng)為12，若將它關(guān)于對(duì)角線AC折起后，使邊AB與CD交于點(diǎn)P（如圖所示），則△ADP面積的最大值為27-18$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=x，則AD=6-x，利用勾股定理得到PD，再根據(jù)三角形的面積公式和基本不等式的性質(zhì)，即可求出．

解答 解∵設(shè)AB=x，則AD=6-x，又DP=PB′，AP=AB′-PB′=AB-DP，
即AP=x-DP，
∴（6-x）²+PD²=（x-PD）²，得PD=6-$\frac{18}{x}$，
∵AB＞AD，
∴3＜x＜6，
∴△ADP的面積S=$\frac{1}{2}$AD•DP=$\frac{1}{2}$（6-x）（6-$\frac{18}{x}$）
=27-3（x+$\frac{18}{x}$）≤27-3×2$\sqrt{x•\frac{18}{x}}$=27-18$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=3$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴△ADP面積的最大值為27-18$\sqrt{2}$，
故答案為：27-18$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件求出△ADP的面積的表達(dá)式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．