Question

14．如圖，A（1，2）、B（$\frac{1}{4}$，-1）是拋物線y²=ax（a＞0）上的兩個點，過點A、B引拋物線的兩條弦AE，BF．
（1）求實數a的值；
（2）若直線AE與BF的斜率是互為相反數，且A，B兩點在直線EF的兩側．
（i）直線EF的斜率是否為定值？若是求出該定值，若不是，說明理由；
（ii）求四邊形AEBF面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A（1，2）代入拋物線y²=ax（a＞0），即可解出a．
（2）（i）設直線AE的方程為：y-2=k（x-1），化為：y=kx+2-k，（k≠0），則直線BF的方程為：y+1=-k（x-$\frac{1}{4}$），化為：y=-kx+$\frac{k}{4}$-1．分別與拋物線方程聯(lián)立即可得出k_EF=-1為定值．
（ii）設直線EF的方程為：y=-x+t，與拋物線方程聯(lián)立化為：y²+4y-4t=0，△＞0，解得t＞-1．可得|EF|=$\sqrt{2[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，點A到直線EF的距離d₁，點B到直線EF的距離d₂．四邊形AEBF面積S=$\frac{1}{2}|EF|$（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+t}$（4|t-3|+|4t+3|）．對t分類討論，利用單調性即可得出．

解答 解：（1）把A（1，2）代入拋物線y²=ax（a＞0），可得：2²=a，解得a=4．
（2）（i）設直線AE的方程為：y-2=k（x-1），化為：y=kx+2-k，（k≠0），
則直線BF的方程為：y+1=-k（x-$\frac{1}{4}$），化為：y=-kx+$\frac{k}{4}$-1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2-k}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為ky²-4y+8-4k=0，∴2y_E=$\frac{8-4k}{k}$，
解得y_E=$\frac{4-2k}{k}$，∴x_E=$\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}$．∴E$（\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}，\frac{4-2k}{k}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-kx+\frac{k}{4}-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：ky²+4y+4-k=0，
∴-y_F=$\frac{4-k}{k}$，可得y_F=$\frac{k-4}{k}$，解得x_F=$\frac{{k}^{2}-8k+16}{4{k}^{2}}$．
∴F$（\frac{{k}^{2}-8k+16}{4{k}^{2}}，\frac{k-4}{k}）$，
∴k_EF=$\frac{\frac{k-4}{k}-\frac{4-2k}{k}}{\frac{{k}^{2}-8k+16}{4{k}^{2}}-\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}}$=-4為定值．
（ii）設直線EF的方程為：y=-x+t，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²+4y-4t=0，
△=16+16t＞0，解得t＞-1．
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4t．
∴|EF|=$\sqrt{2[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{2（16+16t）}$=4$\sqrt{2（1+t）}$．
點A到直線EF的距離d₁=$\frac{|1+2-t|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|3-t|}{\sqrt{2}}$，
點B到直線EF的距離d₂=$\frac{|\frac{1}{4}-1-t|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|4t+3|}{4\sqrt{2}}$．
∴四邊形AEBF面積S=$\frac{1}{2}|EF|$（d₁+d₂）
=$\frac{1}{2}×$4$\sqrt{2（1+t）}$×$\frac{4|t-3|+|4t+3|}{4\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+t}$（4|t-3|+|4t+3|）．
①t≥3時，S=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$（4t-12+4t+3）=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$（8t-9）≥$\frac{1}{2}×\sqrt{1+3}×（24-9）$=15．
②$-\frac{3}{4}$≤t＜3時，S=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$（-4t+12+4t+3）=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$×15∈$[\frac{15}{4}，15）$．
②-1＜t＜$-\frac{3}{4}$時，S=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$（-4t+12-4t-3）=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$×（9-8t），
令g（t）=$\frac{1}{4}（1+t）（9-8t）^{2}$=16t³-20t²-$\frac{63}{4}$t+$\frac{81}{4}$．
g′（t）=48t²-40t-$\frac{63}{4}$，對稱軸為t=$\frac{5}{12}$，函數g′（t）在$（-1，-\frac{3}{4}）$上單調遞減，
而${g}^{′}（-\frac{3}{4}）$=9+30-$\frac{63}{4}$＞0，∴函數g（t）在$（-1，-\frac{3}{4}）$上單調遞增，
∴S在$（-1，-\frac{3}{4}）$上單調遞增．
∴S∈$（0，\frac{15}{4}）$．
綜上可得：S∈（0，15）．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交弦長問題、一元二次方程的根與系數的關系、點到直線的距離公式、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了分析問題與解決問題的能力、推理能力與計算能力，屬于難題．