Question

3．設(shè)O為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=0．
（1）若D，E分別是BC，CA的中點(diǎn)，求證：D，E，O共線；
（2）求△ABC與△AOC的面積之比．

Answer 1

分析 （1）分別用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$來表示$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{OD}$，證明$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{OD}$存在倍數(shù)關(guān)系即可；
（2）作出平面圖形，根據(jù)平面向量的加法法則推出兩個(gè)三角形高的關(guān)系．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=0，∴$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$）=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，
∵D是BC中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OB}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$，
$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=-3$\overrightarrow{OD}$，∴D，E，O共線．
（2）延長OC至M點(diǎn)，使得OM=3OC，以O(shè)A，OM為鄰邊作平行四邊形OANM，
則$\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{ON}$，∵$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{ON}$=-2$\overrightarrow{OB}$，
∵OM=3OC，∴ON=4OP，
∴OP=$\frac{1}{2}OB$=$\frac{1}{3}$BP，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOC}}$=$\frac{BP}{OP}$=3．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，正確畫出圖形并找到線段的關(guān)系是關(guān)鍵．