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6.已知函數(shù)f(x)=2cos(2ωx+\frac{π}{3})-2cos2ωx+1(ω>0)的最小正周期為π.
(Ⅰ)求f(x)的對(duì)稱中心;
(Ⅱ)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,若△ABC為銳角三角形且f(A)=0,求\frac{c}的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出f(x)的表達(dá)式,根據(jù)2x+\frac{π}{6}=kπ,求出f(x)的對(duì)稱中心即可;(Ⅱ)先求出A的值,得到B,C的范圍,由正弦定理得到\frac{c}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\frac{1}{tanC}),從而求出其范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=2cos(2ωx+\frac{π}{3})-2cos2ωx+1
=2(\frac{1}{2}cos2ωx-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx)-2cos2ωx+1
=cos2ωx-\sqrt{3}sin2ωx-2cos2ωx+1
=-2(\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx)+1
=-2sin(2ωx+\frac{π}{6})+1,
∴T=\frac{2π}{2ω}=π,故ω=1,
∴f(x)=-2sin(2x+\frac{π}{6})+1,
由2x+\frac{π}{6}=kπ,解得x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12},
故f(x)的對(duì)稱中心是(\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12},1);
(Ⅱ)∵f(A)=0,
∴-2sin(2A+\frac{π}{6})+1=0,解得A=\frac{π}{3}
∴B+C=\frac{2π}{3}π,而△ABC是銳角三角形,

b
c
=
sinB
sinC
=
3
2
cosC+
1
2
sinC
sinC
=
3
2
1
tanC
+
1
2
,
∵0<B<
π
2
,0<C<
π
2
π
6
<C<
π
2
∴tanC>
3
1
tanC
1
3
1
2
b
c
<2
b
c
的范圍是(
1
2
,2).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì),考查其函數(shù)的周期問(wèn)題,考查正弦定理的應(yīng)用,是一道中檔題.

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