Question

16．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2$\sqrt{2}，C{C_1}$=4，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為AA₁，C₁B₁的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從點(diǎn)E到點(diǎn)F的最短路徑的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． $\sqrt{14+4\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{22}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意，題中E、F分別在AA₁、C₁B₁上，所以“展開(kāi)”后的圖形中必須有AA₁、C₁B₁，畫(huà)出圖形，分類求出結(jié)果，找出最短路徑．

解答 解：題中E、F分別在AA₁、C₁B₁上，所以“展開(kāi)”后的圖形中必須有AA₁、C₁B₁；故“展開(kāi)”方式有以下四種：
（�。┭谻C₁將面ACC₁A₁和面BCC₁B₁展開(kāi)至同一平面，如圖1，求得：EF²=4+18=22；
（ⅱ）沿BB₁將面ABB₁A₁和面BCC₁B₁展開(kāi)至同一平面，如圖2，求得：EF²=8+16=24；
（ⅲ）沿A₁B₁將面ABB₁A₁和面A₁B₁C₁展開(kāi)至同一平面，如圖3，求得：EF²=4+18=22；
（ⅳ）沿A₁C₁將面ACC₁A₁和面A₁C₁B₁展開(kāi)至同一平面，如圖4，求得：EF²=18；
比較可得（ⅳ）情況下，EF的值最小；
故EF的最小值為3$\sqrt{2}$．

故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查把兩個(gè)平面展開(kāi)在同一個(gè)平面內(nèi)的方法，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．