Question

已知矩陣M=

1 2 0 3

（1）試求M的逆矩陣；
（2）求M的特征值及特征向量．

Answer 1

考點：特征值與特征向量的計算

專題：計算題,矩陣和變換

分析：（1）設(shè)出逆矩陣，由定義得到方程，解出系數(shù)a，b，c，d即可．
（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．

解答： 解：（1）設(shè)M的逆矩陣為

a b c d

，
則

1 2 0 3

•

a b c d

=

1 0 0 1

，
則

a+2c=1 b+2d=0 3c=0 3d=1

，解得

a=1 b=- 2 3 c=0 d= 1 3

，
故逆矩陣為

1 - 2 3 0 1 3

．
（2）由f（λ）=

.

λ-1 -2 0 λ-3

.

=（λ-3）（λ-1）=0，
解得λ=3或λ=1，
設(shè)λ=3對應的一個特征向量為α=

x y

則

3x=x+2y 3y=3y

，得y=0，x=0．
則當λ=3時，對應的特征向量為α₁=

0 0

，
同理可得，當λ=1時，對應的特征向量為α₂=

1 0

．

點評：本題主要考查了矩陣特征值與特征向量以及逆矩陣的計算等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．