Question

對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若對(duì)任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱(chēng)f（x）和g（x）在D上是“密切函數(shù)”．給出定義域均為D={x|0≤x≤4}的四組函數(shù)如下：
①f（x）=ln（x+1），g（x）=；   ②f（x）=x³，g（x）=3x-1；
③f（x）=e^x-2x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=2-x；④f（x）=x-，g（x）=．
其中，函數(shù)f（x）和g（x）在D上為“密切函數(shù)”的是    ．

Answer 1

【答案】分析：對(duì)照新定義，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)的方法確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的值域，利用若對(duì)任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱(chēng)f（x）和g（x）在D上是“密切函數(shù)”，即可得到結(jié)論
解答：解：對(duì)于①，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-，
∴≥0
∵0≤x≤4
∴h（x）在[0，4]上單調(diào)增，
∵h(yuǎn)（0）=0，h（4）=
∵
∴對(duì)任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，
∴函數(shù)f（x）和g（x）在D上為“密切函數(shù)”；
對(duì)于②，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x³-3x+1，
∴h′（x）=3x²-3
∵0≤x≤4
∴0≤x≤1，h′（x）≤0，1≤x≤4，h′（x）≥0
∵h(yuǎn)（0）=1，h（1）=-1，h（4）=53
∴函數(shù)在x=1時(shí)，取得最小值-1；在x=4時(shí)，取得最大值53，
故不滿(mǎn)足對(duì)任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1；
對(duì)于③，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x-2，
∴h′（x）=e^x-1
∵0≤x≤4
∴h′（x）≥0
∴h（x）在[0，4]上單調(diào)增，
∵h(yuǎn)（0）=-1，h（4）=e⁴-6
∵e⁴-6＞1
∴不滿(mǎn)足對(duì)任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1；
對(duì)于④，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x--．x=0時(shí)滿(mǎn)足題意
x≠0時(shí)，
∵0＜x≤4
∴
∴
∴h（x）在[0，4]上單調(diào)增，
∵h(yuǎn)（0）=-，h（4）=
∴對(duì)任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，
∴函數(shù)f（x）和g（x）在D上為“密切函數(shù)”；
故答案為：①④
點(diǎn)評(píng)：本題是一道新定義題，要理清定義的條件和結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的去解決，主要涉及了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值求法等．