Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-5a_n+23，n∈N*，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=（　�。�

• A． $3×{（\frac{5}{6}）^{n-1}}-1$
• B． $3×{（\frac{5}{6}）^n}-1$
• C． $3×{（\frac{5}{6}）^{n-1}}+1$
• D． $3×{（\frac{5}{6}）^n}+1$

Answer 1

分析 S_n=n-5a_n+23，n∈N*，當n=1時，a₁=S₁=1-5a₁+23，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1-1），再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵S_n=n-5a_n+23，n∈N*，
∴當n=1時，a₁=S₁=1-5a₁+23，解得a₁=4．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n-5a_n+23-（n-1-5a_n-1+23），化為：a_n-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1-1），a₁-1=3．
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項為3，公比為$\frac{5}{6}$．
∴a_n-1=$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$，即a_n=$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$+1，
故選：C．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．