Question

已知一個(gè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)是1或3，首項(xiàng)為1，且在第k個(gè)1和第k+1個(gè)1有2k-1個(gè)3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為S_n，
（Ⅰ）試問從數(shù)列第一項(xiàng)開始數(shù)起第n個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)？
（Ⅱ）求a₂₀₀₇（注：45²-45+1=1981，46²-46+1=2071）；
（Ⅲ）求該數(shù)列的前2007項(xiàng)的和S₂₀₀₇．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）將第k個(gè)1與第k+1個(gè)1前的2記為第k對(duì)，即（1，3）為第1對(duì)，共1+1=2項(xiàng)；（1，3，3，3）為第2對(duì)，共1+3=4項(xiàng)；…；(1，

3，3，…，3

2k-1

)，為第k對(duì)，共1+（2k-1）=2k項(xiàng)；可得前k對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為2+4+…+2k=k（k+1）．由于第n個(gè)1所在的項(xiàng)之前共有n-1對(duì)，即可得出第n個(gè)1為該數(shù)列的（n-1）（n-1+1）+1．
（II）由于45²-45+1=1981，46²-46+1=2071，可得2007-1980=27，可得第2007項(xiàng)在第45對(duì)中的第27個(gè)數(shù)，即可得出a₂₀₀₇．
（III）前20O7項(xiàng)中共有45個(gè)1，其余2007-45=1962個(gè)數(shù)均為2，即可得出S₂₀₀₇．

解答： 解：（I）將第k個(gè)1與第k+1個(gè)1前的2記為第k對(duì)，即（1，3）為第1對(duì)，共1+1=2項(xiàng)；（1，3，3，3）為第2對(duì)，共1+3=4項(xiàng)；…；
(1，

3，3，…，3

2k-1

)，為第k對(duì)，共1+（2k-1）=2k項(xiàng)；
故前k對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為2+4+…+2k=k（k+1）．
第n個(gè)1所在的項(xiàng)之前共有n-1對(duì)，
∴第n個(gè)1為該數(shù)列的（n-1）（n-1+1）+1=n²-n+1．
（II）∵45²-45+1=1981，46²-46+1=2071，∴2007-1980=27，
故第2007項(xiàng)在第45對(duì)中的第27個(gè)數(shù)，從而a₂₀₀₇=2，
（III）前20O7項(xiàng)中共有45個(gè)1，其余2007-45=1962個(gè)數(shù)均為2，
于是S₂₀₀₇=45×1+1962×2=3969．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分組求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)及其項(xiàng)、前n項(xiàng)和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．